Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ đều ,trung tuyến $AM\to AM\perp BC$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AHM}(=90^o)$

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{HCM}=90^o-\widehat{HMC}=\widehat{AMH}$

$\to \Delta ABM\sim\Delta  AMH(g.g)$

b.Từ câu a

$\to \dfrac{MB}{MH}=\dfrac{AM}{AH}$

$\to \dfrac{2ME}{2HF}=\dfrac{AM}{AH}$

$\to \dfrac{ME}{HF}=\dfrac{AM}{AH}$

Mà $\widehat{AME}=\widehat{AHF}=90^o$

$\to\Delta AME\sim\Delta AHF(c.g.c)$

$\to \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AM}{AH}$

Từ câu a $\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AH}$

$\to \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AM}$

$\to AE.AM=AB.AF$

c.Gọi $D$ là trung điểm $HC$
Vì $M$ là trung điểm $BC\to MD$ la đường trung bình $\Delta BCH\to MD//BH$

Ta có $F, D$ là trung điểm $HM, HC\to FD$ lad đường trung bình $\Delta  HMC$

$\to DF//MC$

Mà $AM\perp MC\to DF\perp AM$
Lại có $MH\perp AC\to MH\perp AD$

          $MH\cap DF=F$

$\to F$ là trực tâm $\Delta AMD\to AF\perp MD$

Do $MD//BH\to AF\perp BH$

d.Ta có $E,F$ là trung điểm $MB, MH$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta BMH$

$\to EF//BH, EF=\dfrac12BH$

Ta có $AF\perp BH\to AF\perp EF$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{MHC}=90^o$

Gọi $AM\cap EF=G$

$\to \widehat{AFG}=\widehat{GME}(=90^o)$

Mà $\widehat{AGF}=\widehat{EGM}$

$\to\Delta AGF\sim\Delta EGM(g.g)$

$\to\dfrac{GA}{GE}=\dfrac{GF}{GM}$

$\to\dfrac{GA}{GF}=\dfrac{GE}{GM}$

Lại có $\widehat{AGE}=\widehat{MGF}$

$\to\Delta AGE\sim\Delta FGM(c.g.c)$

$\to \widehat{AEG}=\widehat{GMF}=90^o-\widehat{HMC}=\widehat{HCM}$

$\to \widehat{AEF}=\widehat{MCH}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta MCH(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{MC}=\dfrac{EF}{CH}$

$\to AE.CH=MC.EF$

$\to AE.CH=MB.EF$

$\to AE.CH=2EM.\dfrac12BH$

$\to AE.CH=EM.BH$

Lại có $\Delta MHC$ vuông tại $H, \widehat{HCM}=60^o$

$\to\Delta HMC$ là nửa tam giác đều

$\to HC=\dfrac12MC=\dfrac12MB=ME$

$\to AE.ME=CH.BH$

$\to đpcm$