Đáp án:
a)
\(\begin{array}{l}{A_1} = 1\\{A_2} = 5\\{A_3} = 12\end{array}\)
b) \({A_n} = \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\).
Giải thích các bước giải:
\({A_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{A_1} = 1\\{A_2} = 1 + 4 = 5\\{A_3} = 1 + 4 + 7 = 12\end{array}\)
b) Dự đoán công thức SHTQ \({A_n} = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\,\,\left( 1 \right)\).
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({A_1} = \dfrac{{1.2}}{2} = 1\) (đúng)
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là
\(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3k - 2} \right) = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\).
Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n = k\), tức là cần chứng minh
\(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3k - 2} \right) + \left( {3k + 1} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\) (2).
Theo giả thiết quy nạp ta có:
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {A_k} + \left( {3k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + \left( {3k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\end{array}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
