Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dung HĐT $: a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + ac + bc)$
Với mọi $k∈ N^{*}; a = 1; b = \dfrac{1}{k - 1}; c = - \dfrac{1}{k} $ ta có :
$1 + \dfrac{1}{(k - 1)²} + \dfrac{1}{k²} = (1 + \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k})²$
$ - 2( \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k(k - 1)})$
$ = (1 - \dfrac{1}{k - 1} + \dfrac{1}{k})² - 2( \dfrac{1}{k(k - 1)} - \dfrac{1}{k(k - 1)})$
$ = (1 + \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k})²$
$ ⇒ \sqrt{1 + \dfrac{1}{(k - 1)²} + \dfrac{1}{k²}} = 1 + \dfrac{1}{k - 1} - \dfrac{1}{k}$
Do đó :
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{2²} + \dfrac{1}{3²}} = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{3²} + \dfrac{1}{4²}} = 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{4²} + \dfrac{1}{5²}} = 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}$
$..............................$
$ \sqrt{1 + \dfrac{1}{(n - 1)²} + \dfrac{1}{n²}} = 1 + \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n}$
Cộng tất cả lại :
$ S_{n} = (n - 2) + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n} = (n - 2)(1 - \dfrac{1}{2n})$
a) Với $n = 2006 ⇒ S_{2006} = (2006 - 2)(1 - \dfrac{1}{4012}) = \dfrac{501.4013}{1003}$
b) Với mọi $n ≥ 3 ⇒ n - 2 > 0$ Ta có:
$ S_{n} = (n - 2) + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n} = (n - 2) + \dfrac{n - 2}{2n} > n - 2 (1)$
$ S_{n} = (n - 2) + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n} = (n - 1) - \dfrac{n + 2}{2n} < n - 1 (2)$
Từ $ (1); (2) : n - 2 < S_{n} < n - 1 ⇒ S_{n}$ không nguyên.
