`a)`
`S_1 = 1 = {1.(3.1 -1)}/2`
`S_2 = 1+ 4 = 5 = {2.(3.2 - 1)}/2`
`S_3 = 1+ 4 + 7 = 12 = {3.(3.3 - 1)}/2`
`S_4 = 1+4+7+10=22 = {4.(3.4 - 1)}/2`
...
Do đó ta dự đoán `Sn = {n.(3n -1)}/2`
__________
hoặc có thể dự đoán dựa vào dãy số cấp số cộng `(u_n): 1; 4; 7; 10 …` với `u_1=1` và công bội `d=3`, khi đó tổng `n` số hạng của dãy `(u_n)` là:
`S_n = n.(u_1+u_n)/2 = {n.[2u_1+(n-1).d]}/2`
` = {n.[2.1+(n-1).3]}/2= {n.(2+3n-3)}/2={n(3n-1)}/2`
$\\$
`b)` Chứng minh:
`S_n = {n.(3n -1)}/2` với `n\in NN^{**} ` `(1)` bằng phương pháp quy nạp:
Với `n = 1` ta có `S_1 = {1.(3.1-1)}/2=1`
`=> (1)` đúng với `n=1`
Giả sử `(1)` đúng với mọi `k\in NN^{**}`, tức là:
`S_k= 1+4+...+ 3k-2={k.(3k-1)}/2`, ta cần chứng minh `(1)` đúng với `n = k+1`
Thật vậy ta có:
`S_{k+1}`
`=(1+4+...+3k-2)+ 3(k+1)-2`
`= Sk + 3(k+1)-2`
`={k.(3k-1)}/2 + 3k+1`
`={3k^2 -k + 6k +2}/2`
`={3(k^2 + 2k +1) - k - 1}/2`
`={3(k+1)^2 - (k+1)}/2`
`={(k+1)[3(k+1) - 1]}/2`
`=>(1)` đúng với `n = k+1`
Vậy `S_n = {n.(3n -1)}/2` với mọi `n` thuộc `NN^{**}`
