Đáp án: $\dfrac23$
Giải thích các bước giải:
Gọi $BE//AI, E\in AC$
Vì $I$ là trung điểm $BC\to AI$ là đường trung bình $\Delta CBE$
$\to A$ là trung điểm $CE\to EA=AC=1$
Do $BE//AI\to AI//(BDE)$
$\to d(AI,BD)=d(A, BDE)$
Gọi $AH\perp BE,AF\perp DH$
Ta có $AD\perp AC, AD\perp AB, AB\perp AC$
$\to SA\perp (ABC)$
$\to SA\perp AE, SA\perp AH$
Mà $AH\perp BE\to BE\perp ADH$
$\to BE\perp AF$
Lại có $AF\perp DH$
$\to AF\perp DBE$
$\to d(A,BDE)=AF$
Mà $\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AB^2}$
$\to \dfrac{1}{AF^2}=\dfrac94$
$\to AF=\dfrac23$
