Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD cắt ABCD theo thiết diện là: A.Hình tam giác B.Hình vuông C.Hình thoi D.Hình chữ nhật.
Gọi M là trung điểm của AC. Trong (ABC) qua M kẻ MN // AB \(\left( {N \in BC} \right)\) Trong (ACD) và (BCD) kẻ MQ // CD và NP // CD \(\left( {Q \in AD,P \in BD} \right)\). Ta có:\(\left\{ \matrix{M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr AB//\left( \alpha \right) \hfill \cr MN//AB \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN.\) Chứng minh tương tự ta có: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP//CD\) \(\eqalign{ & \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ//AB \cr & \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = QM//CD. \cr} \) Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) là tứ giác MNPQ. Ta có: MN // PQ // AB, MQ // NP // CD nên MNPQ là hình bình hành. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC và MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên \(MN = {1 \over 2}AB,MQ = {1 \over 2}CD.\) Mà AB = CD nên MN = MQ. Vậy MNPQ là hình thoi. Chọn C.