Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = 6a\), \(BD = 8a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,BC\). Biết \(AC \bot BD\).Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\). A.\(MN = a\sqrt {10} \) B.\(MN = 7a\) C.\(MN = 5a\) D.\(MN = 10a\)
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: - Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\). - Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP\). - Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài \(MN\).Giải chi tiết: Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}PM//BD,\,\,PM = \dfrac{1}{2}BD = 4a\\PN//AC,\,\,PN = \dfrac{1}{2}AC = 3a\end{array} \right.\) Lại có \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow PM \bot PN \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(P\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MNP\) ta có: \(MN = \sqrt {P{M^2} + P{N^2}} = \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}} = 5a\). Vậy \(MN = 5a\). Chọn C.