Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Gọi AB; BF là các đường cao trong tam giác ABC; \(H = AE \cap BF \Rightarrow H\)là trực tâm tam giác ABC
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot AD\,\,\left( {AD \bot \left( {DBC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot DE\)
K là trực tâm của tam giác DBC \( \Rightarrow K \in DE\)
Gọi \(G = BK \cap CD\)
Vì \(BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BG \bot CD\\BG \bot AD\,\,\left( {AD \bot \left( {DBC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BG \bot \left( {ACD} \right) \Rightarrow BG \bot AC\)
\(\left. \begin{array}{l}BG \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\BF \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {BGF} \right) \Rightarrow AC \bot HK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HK \bot HE\)
Trong (ABC) ta có: \(HE \bot BC\)
Suy ra HE là đoạn vuông góc chung của HK và BC\( \Rightarrow d\left( {HK;BC} \right) = HE\)
Ta có: \(AD \bot \left( {DBC} \right) \Rightarrow AD \bot DB \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại D\( \Rightarrow AB = \sqrt {A{D^2} + B{D^2}} = a\sqrt 2 \)
\(AD \bot \left( {DBC} \right) \Rightarrow AD \bot DC \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại D\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow AC = AB \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A

Ta có: \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0};\widehat {{H_2}} + \widehat {{A_1}} = {90^0}\)(2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông)
Mà \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HEB \sim \Delta CEA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{CE}} = \dfrac{{BE}}{{AE}} \Rightarrow HE = \dfrac{{BE.CE}}{{AE}} = \dfrac{{BE.CE}}{{\sqrt {A{B^2} - B{E^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{14}}\end{array}\)
Vậy \(d\left( {HK;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{14}}\)
Chọn A.