Đáp án:
Góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng \(70,53^\circ \)
Giải thích các bước giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC
Suy ra A, G, M thẳng hàng và \(AG = \frac{2}{3}AM\)
Do \(S.ABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác ABC là tam giác đều nên \(AM \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tam giác SBC là tam giác đều nên \(SM \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Mặt khác, \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1); (2); (3) suy ra góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy là góc giữa SM và AM
Do đó, \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMG}\)
Ta có:
Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\\
GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot GA \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}\\
\Rightarrow \tan SMG = \frac{{SG}}{{GM}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}:\frac{{\sqrt 3 a}}{6} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SMG} = 70,53^\circ
\end{array}\)
Vậy góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng \(70,53^\circ \)
