Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí: Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
b) Xác định giao tuyến của \(\left( {IJK} \right)\) với các mặt của tứ diện.
Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác \(SAC\).
Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).Giải chi tiết:
a) Gọi \(M,\,\,N,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,SC\).
Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(SBA,\,\,SBC\) nên \(\dfrac{{SI}}{{SM}} = \dfrac{{SJ}}{{SN}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow IJ//MN//AC\) (định lí Ta-lét đảo).
Ta có: \(BC = 3CK \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{NC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NC}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{NJ}}{{NS}}\) \( \Rightarrow JK//SC\) (định lí Ta-lét đảo).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ//AC\\JK//SC\\IJ \cap JK \subset \left( {IJK} \right)\\AC \cap SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
b) Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \(E = JK \cap SB\), trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(F = EI \cap AB\).
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {IJK} \right)\) là tam giác \(EFK\).
Ta có: \(\dfrac{{EK}}{{SC}} = \dfrac{{EF}}{{SA}} = \dfrac{{FK}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \Delta EFK \sim \Delta SAC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{2}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}}\).
Vì \(S.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow \Delta SAC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({S_{EFK}} = \dfrac{4}{9}{S_{SAC}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\).