a) Ta có $E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow EF\parallel=\dfrac{1}{2}AC$ (1)

Ta có: $G$ là trung điểm của $CD$

$H$ là trung điểm của $DA$

$\Rightarrow HG$ là đường trung bình $\Delta ACD$

$\Rightarrow HG\parallel=\dfrac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EF\parallel=HG$

$\Rightarrow $ tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (*) (vì có cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)

Ta lại có: $E$ là trung điểm của $AB$

$H$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow HE$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow HE\parallel BD$

$EF\parallel AC$

Mà $BD\bot AC$

$\Rightarrow HE\bot EF$

$\Rightarrow \widehat{HEF}=90^o$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $EFGH$ là hình chữ nhật.

b) Ta có: $EFGH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow FH=EG$

Ta có: $I$ là trung điểm của $EF$

$J$ là trung điểm của $CF$

$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình $\Delta EFG$

$\Rightarrow IJ\parallel=\dfrac{1}{2}EG$ (3)

Chứng minh tương tự $LK$ là đường trung bình $\Delta HEC$

$\Rightarrow LK\parallel=\dfrac{1}{2}EC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $IJ\parallel=LK$

$\Rightarrow IJKL$ là hình bình hành

Tương tự $IL$ là đường trung bình $\Delta EFH$

$\Rightarrow IL=\dfrac{1}{2}FH=\dfrac{1}{2}EG=IJ$

Tứ giác $IJKL$ là hình bình hành có $IL=IJ$

$\Rightarrow IJKL$ là hình thoi.

c) Chứng minh tương tự $MN$ là đường trung bình $\Delta IJL$

$\Rightarrow MN\parallel=\dfrac{1}{2}JL$

Và $PQ$ là đường trung bình $\Delta JKL$

$\Rightarrow PQ\parallel=\dfrac{1}{2}JL$

$\Rightarrow MN\parallel =PQ$ (vì cùng $\parallel=JL$)

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành

Lại có $MQ$ là đường trung bình $\Delta LIK$

$\Rightarrow MQ\parallel IK$

và $MN\parallel LJ$

Mà $LJ\bot IK$ (do tứ giác $IJKL$ là hình thoi)

$\Rightarrow MQ\bot MN $

$\Rightarrow \widehat{QMN}=90^o$

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành có $\widehat{QMN}=90^o$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.

d) Nếu $AC=BD$ thì $EF=EH$ (vì cùng $=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BD$)

$\Rightarrow EFGH$ là hình vuông

Khi đó $EG\bot HF$ có $IJ\parallel EG$ và $IL\parallel HF$

$\Rightarrow IJ\bot IL\Rightarrow $ hình thoi $IJKL$ trở thành hình vuông

$\Rightarrow IK=LJ$

Tương tự $MN=\dfrac{1}{2}LJ$

$MQ=\dfrac{1}{2} IK$

$\Rightarrow MN=MQ$

Suy ra tứ giác hình chữ nhật $MNPQ$ trở thành hình vuông.