a) Xét $∆ABC$ có:
$AE = EB =\dfrac12AB\quad (gt)$
$BF = FC =\dfrac12BC\quad (gt)$
$\to EF$ là đường trung bình
$\to EF//AC;\, EF=\dfrac12AC$
Chứng minh tương tự, ta được:
$GH$ là đường trung bình của $∆ACD$
$\to GH//AC;\, GH=\dfrac12AC$
Do đó:
$EF//GH;\, EF = GH$
$\to EFGH$ là hình bình hành
b) Bằng cách chứng minh tương tự câu a, ta được:
$FG//BD//HE;\, FG=HE=\dfrac12BD$
Ta có:
$EFGH$ là hình bình hành
Do đó:
$+)\quad EFGH$ là hình chữ nhật
$\to EF\perp HE$
mà $EF//AC;\, HE//BD$
nên $AC\perp BD$
$+)\quad EFGH$ là hình thoi
$\to EF = GH$
$\to \dfrac12AC =\dfrac12BD$
$\to AC = BD$
$+)\quad EFGH$ là hình vuông
$\to EFGH$ vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi
$\to AC\perp BD;\, AC = BD$