Đáp án: B1:$u_n=\dfrac{{{n^2} - n + 2}}{2}$
Giải thích các bước giải:
B1:
Ta có:
${u_{n + 1}} - 2{u_n} + {u_{n - 1}} = 1 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1$ (1)
Xét dãy $(v_n)$ sao cho $v_1=u_2-u_1=1$ và ${v_{n-1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}$ với $n\in N^*$
Khi đó: $(1) \Leftrightarrow {v_n}_{ + 1} = {v_n} + 1$
Suy ra $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1$ và công sai $d=1$
Lại có:
$\begin{array}{l}
{u_n} - {u_1} = ({u_n} - {u_{n - 1}}) + ({u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}) + ... + ({u_2} - {u_1})\\
= {v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1}\\
= ({v_1} + (n - 2).1) + ({v_1} + (n - 3).1) + ... + {v_1}\\
= (n - 1){v_1} + \left[ {n - 2 + n - 3 + ... + 1} \right]\\
= n - 1 + \dfrac{{(n - 1)(n - 2)}}{2}\\
= \dfrac{{n(n - 1)}}{2}\\
\Rightarrow {u_n} = {u_1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2} = 1 + \dfrac{{n(n - 1)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 2}}{2}
\end{array}$
Vậy $u_n=\dfrac{{{n^2} - n + 2}}{2}$
B2:
Ta có:
$v_n=\dfrac{u_n}{n}\to v_1=\dfrac{1}{3}; u_n=v_n.n$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n}\\
\Leftrightarrow {v_{n + 1}}.(n + 1) = \dfrac{{n + 1}}{3}.{v_n}\\
\Leftrightarrow {v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}.{v_n}
\end{array}$
Suy ra $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1=\dfrac{1}{3}$ và công bội $q=\dfrac{1}{3}$
Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1=\dfrac{1}{3}$ và công bội $q=\dfrac{1}{3}$
