Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}P = {x^4} + {y^4} - 4xy + 3\\P = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 3\\P = {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 3\\P = {\left( {x + y} \right)^4} - 4xy{\left( {x + y} \right)^2} + 4{\left( {xy} \right)^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 3\\P = 256 - 64xy + 2{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 3\\P = 2{\left( {xy} \right)^2} - 68xy + 259\end{array}\)
Đặt \(t = xy\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(0 \le xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = 4\) \( \Rightarrow 0 \le t \le 4\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2{t^2} - 68t + 259\\P = 2\left( {{t^2} - 34t + {{17}^2}} \right) - 319\\P = 2{\left( {t - 17} \right)^2} - 319\end{array}\)
Với \(0 \le t \le 4 \Rightarrow  - 17 \le t - 17 \le  - 13\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {13^2} \le {\left( {t - 17} \right)^2} \le {17^2}\\ \Leftrightarrow {2.13^2} \le 2{\left( {t - 17} \right)^2} \le {2.17^2}\\ \Leftrightarrow {2.13^2} - 319 \le 2{\left( {t - 17} \right)^2} - 319 \le {2.17^2} - 319\\ \Leftrightarrow 19 \le P \le 259\end{array}\)
Vậy \({P_{\min }} = 19 \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 4\\x + y = 4\end{array} \right.\).
Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 4X + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {X - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow X = 2\).
\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\).
\({P_{\max }} = 259 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;\,\,y = 4\\y = 0;\,\,x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0;4} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;0} \right)\).
Chọn A.