Đáp án:
$P_{min}=432$ khi $(x;y)=(2;3)$
Giải thích các bước giải:
Giả thiết đã cho tương đương:
$3x+2y+xy=18$
Đặt $\begin{cases}3x=a\\2y=b \end{cases}$$⇒a+b+\dfrac{1}{6}ab=18$
$⇒18=a+b+\dfrac{1}{6}ab \leq a+b+\dfrac{1}{24}(a+b)^2$
$⇒(a+b)^2+24(a+b)-432 \geq 0$
$⇒(a+b+36)(a+b-12) \geq 0$
$⇒a+b-12 \geq 0$ (do $a+b+36>0$ ,$\forall a;b>0$)
$⇒a+b \geq 12$
Ta có:
$P=(3x)^3+(2y)^3=a^3+b^3$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^3+216+216 \geq 3\sqrt[3]{a^3.216^2}=108a$
Tương tự: $b^3+216+216 \geq 108b$
Cộng vế với vế:
$a^3+b^3+864 \geq 108(a+b) \geq 108.12=1296$
$⇒a^3+b^3 \geq 432$
$⇒P_{min}=432$ khi $a=b=6$ hay $(x;y)=(2;3)$
