Đặt
$ A = x^2 +2y^2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y}$
$ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} - 1 -8$
$ = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} - 9$
Áp dụng Cauchy với $ x ;y > 0$ ta có
$ x^2 +1 \ge 2x$
$ 2y^2 +8 = 2(y^2+4) \ge 2 .2\sqrt{4y^2} = 2*2y = 8y$
$\to A = x^2 + 1 +2y^2 + 8 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} - 9 \ge 2x +8y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{24}{y} - 9$
$ = ( x + \dfrac{1}{x}) + ( 6y + \dfrac{24}{y}) + x -2y -9$
Áp dụng Cauchy
$ x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x . \dfrac{1}{x}} = 2$
$ 6y + \dfrac{24}{y} \ge 2 \sqrt {6y . \dfrac{24}{y}} = 2. \sqrt{144} = 24$
$\to A \ge 2 + 24 -+(x-2y) - 9 = 2+24 +5 - 9 = 22$ (do $ x +2y \ge 5$ )
Vậy GTNN biểu thức $ =5$ khi $ x = 1 ; y = 2$
P/s : Việc thêm bớt dựa trên dự đoán điểm rơi để chứng minh BĐT, bạn có thể tham khảo
