Ta có `x+y=2``=> (x + y)^² = 4 `
`=> x^² + 2xy + y^² = 4 `
`=> x^² + y^² = 4 - 2xy `
`=> x^²y^²(x^² + y^²) = x^²y^².(4 - 2xy) `
Giả sử `x^2y^2(x^2+y^2)<=2`
`=>x^2y^2(4-2xy)<=2`
`<=>x^2y^2(2-xy)<=1`
`<=>2x^2y^2=x^3y^3<=1`
`<=> x^³y^³ - 2x^²y^² + 1 ≥ 0 `
`<=> (xy - 1).(x^²y^² - xy - 1) ≥ 0 `
`<=> (xy - 1).[ xy(xy - 1) - 1 ] ≥ 0 `
Có `2 = x + y ≥ 2sqrt(xy) (`Theo BĐT `Côsi)`
`=> xy ≤ 1`
`=> xy - 1 ≤ 0`
`xy > 0`
`=> xy(xy - 1) ≤ 0`
`=> xy(xy - 1) - 1 ≤ -1`
`=> (xy - 1).[ xy(xy - 1) - 1 ] ≥ 0`
`=>` Luôn đúng do tích của `2` số âm thì luôn `≥ 0`
Dấu `'='` khi $:\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}$`=>x=y=1`
