Giải thích các bước giải:
\(
\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + y}} \le \frac{2}{{1 + \sqrt {xy} }} (1)\\
\Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} - \frac{1}{{1 + \sqrt {xy} }} + \frac{1}{{1 + y}} - \frac{1}{{1 + \sqrt {xy} }} \le 0 \\
\Leftrightarrow \frac{{1 + \sqrt {xy} - (1 + x)}}{{(1 + x)(1 + \sqrt {xy} )}} + \frac{{1 + \sqrt {xy} - (1 + y)}}{{(1 + y)(1 + \sqrt {xy} )}} \le 0 \\
\Leftrightarrow \frac{{ - \sqrt x (\sqrt x - \sqrt y )(1 + y) + \sqrt y (\sqrt x - \sqrt y )(1 + x)}}{{(1 + x)(1 + y)(1 + \sqrt {xy} )}} \le 0 \\
\Leftrightarrow (\sqrt x - \sqrt y )( - \sqrt x - y\sqrt x + \sqrt y + x\sqrt y ) \le 0 \\
\end{array}
\)
\(
\Leftrightarrow - (\sqrt x - \sqrt y )^2 (\sqrt {xy} - 1) \le 0
\)(luôn đúng)
Vậy (1) đúng với mọi x;y>0
