Đáp án:
Với `x+y=1` thì `x^3+y^3≥1/4.`
Giải thích các bước giải:
$\textit{Cách 1:}$
Ta có:
`x^3+y^3`
`=(x+y)(x^2-xy+y^2)`
`=1.(x^2-xy+y^2)`
`=(x^2+y^2)-xy.` `(1)`
Ta có: `(x-y)^2≥0`
`<=>x^2+y^2-2xy≥0`
`<=>x^2+y^2≥2xy`
`<=>x^2+y^2 + (x^2+y^2)≥ x^2+y^2+2xy`
`<=>2x^2+2y^2≥x^2+2xy+y^2`
`<=>2(x^2+y^2)≥(x+y)^2`
`<=>x^2+y^2≥{(x+y)^2}/2 = {1^2}/2 = 1/2`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `x=y=1/2.`
Cũng từ `(x-y)^2≥0`
`<=>x^2+y^2-2xy≥0`
`<=>x^2+y^2≥2xy`
`<=>xy≤{x^2+y^2}/2`
`<=>-xy≥-{x^2+y^2}/2`
`<=>-xy≥-{1/2}/2=-1/4`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `x=y=1/2.`
Suy ra `x^2+y^2-xy≥ 1/2 +(-1/4) = 1/4`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `x=y=1/2.`
Vậy ta có điều phải chứng minh.
$\textit{Cách 2:}$
Ta có:
`x^3+y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-(3x^2y+3xy^2)`
`=(x+y)^3 - 3xy(x+y)`
`=1^3- 3xy . 1 =1 - 3xy` `(1)`
Từ `x+y=1=>x=1-y` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `1-3.(1-y).y=1-3y(1-y)=1-3y+3y^2`
Điều phải chứng minh tương đương `3y^2-3y+1≥1/4`
Giả sử điều trên là đúng thì ta có `3y^2-3y+3/4≥0`
`<=>3(y^2-y+1/4)≥0`
`<=>3(y-1/2)^2≥0` (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `y=1/2=>x=1/2`
Vậy ta có điều phải chứng minh.
