$ x^3 + y^3 + xy = (x+y)(x^2 -xy + y^2) + xy = x^2 - xy + y^2 +xy$
$ = x^2 +y^2$
Ta có bất đẳng thức phụ $2(x^2+y^2) \ge (x+y)^2$
Thật vậy, bđt tương đương
$ 2x^2 +2y^2 - x^2 - 2xy - y^2 \ge 0$
$\to (x-y)^2 \ge 0$ (đúng)
$\to 2(x^2+y^2) \ge (x+y)^2$
$\to x^2 +y^2 \ge \dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
Vậy GTNN biểu thức $ = \dfrac{1}{2}$ ; khi $ x = y = \dfrac{1}{2}$
