Đáp án: $M_{min} = \dfrac{25}{2}$ tại $x=y=0,5$
Giải thích các bước giải:
$M= \bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$
$ = x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$
$ = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$
Vì $(x-y)^2 ≥ 0 $
$⇔ x^2+y^2 ≥ 2xy$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho hai số ta được :
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$
Do đó :
$M = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$
Dấu "=" xảy ra $⇔x=y=\dfrac{1}{2}$
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$
