$(P): y=f(x)=ax^2+bx+2$
$A\in (P)\Rightarrow f(-1)=3$
$\Rightarrow (-1)^2.a-b+2=3$
$\Leftrightarrow a-b=1$ $(1)$
$B\in (P)\Rightarrow f(2)=4$
$\Rightarrow 2^2.a+2b+2=4$
$\Leftrightarrow 4a+2b=2$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}; b=-\dfrac{1}{3}$