Đáp án:
`min{((x^3+y^3)-(x^2+y^2))/((x-1)(y-1))}=8<=>x=y=2.`
Giải thích các bước giải:
`((x^3+y^3)-(x^2+y^2))/((x-1)(y-1))`
`=(x^3-x^2+y^3-y^2)/((x-1)(y-1))`
`=(x^2(x-1)+y^2(y-1))/((x-1)(y-1))`
`=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
`x^2/(y-1)+y^2/(x-1)>=2\sqrt{(x^2y^2)/((x-1)(y-1))}`
`<=>((x^3+y^3)-(x^2+y^2))/((x-1)(y-1))>=(2xy)/(\sqrt{x-1}.\sqrt{y-1})`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
`\sqrt{x-1}<=(x-1+1)/2=x/2`
`\sqrt{y-1}<=y/2`
`<=>((x^3+y^3)-(x^2+y^2))/((x-1)(y-1))>=(2xy)/(x/2*y/2)=8`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`
Vậy `min{((x^3+y^3)-(x^2+y^2))/((x-1)(y-1))}=8<=>x=y=2.`