Đáp án: $A_{min}=2⇔x=y=1$
Giải thích các bước giải:
Đặt $A=x^4+y^4$
Ta có:
$x+y=2⇒(x+y)^2=4⇒x^2+2xy+y^2=4$
Mà $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2≥0$
$⇒(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2xy+y^2)≥4$
$⇒2(x^2+y^2)≥4⇒x^2+y^2≥2>0$
$⇒(x^2+y^2)^2≥4⇒x^4+2x^2y^2+y^4≥4$
Mà $(x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4≥0$
$⇒(x^4-2x^2y^2+y^4)+(x^4+2x^2y^2+y^4)≥4$
$⇒2(x^4+y^4)≥4⇒x^4+y^4≥2$
Dấu bằng xảy ra $\large \left \{ {{y=x} \atop {x+y=2}} \right. ⇔x=y=1$
