Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = \sqrt {10} \). Tìm giá trị của \(x\) và \(y\) để biểu thức \(A = \left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.A.\(40\)B.\(42\)C.\(45\)D.\(50\)

Vevoi

2 năm trước

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y = \sqrt {10} \). Tìm giá trị của \(x\) và \(y\) để biểu thức \(A = \left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
A.\(40\)
B.\(42\)
C.\(45\)
D.\(50\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 25 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

lehoangnhatduyvn

Đáp án đúng: C

Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{y^4} + 1} \right)\\A = {x^4} + {y^4} + {\left( {xy} \right)^4} + 1\\A = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + 1\\A = {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + 1\\A = {\left( {x + y} \right)^4} - 4{\left( {x + y} \right)^2}.xy + 4{\left( {xy} \right)^2} - 2{\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + 1\\A = 100 - 40.xy + 2{\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + 1\\A = {\left( {xy} \right)^4} + 2{\left( {xy} \right)^2} - 40xy + 101\end{array}\)
Đặt \(t = xy\). Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(0 < xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{5}{2}\).
Khi đó ta có: \(A = {t^4} + 2{t^2} - 40t + 101\) với \(0 < t \le \dfrac{5}{2}\).
\(\begin{array}{l}A = \left( {{t^4} - 8{t^2} + 16} \right) + \left( {10{t^2} - 40t + 40} \right) + 45\\A = {\left( {{t^2} - 4} \right)^2} + 10{\left( {t - 2} \right)^2} + 45 \ge 45\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 4 = 0\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 2\end{array} \right.\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = \sqrt {10} \end{array} \right.\).
Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - \sqrt {10} X + 2 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - 4.1.2 = 2 > 0\), do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}X = \dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2}\\X = \dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2}} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Vậy biểu thức \({A_{\min }} = 45\) khi và chỉ khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2}} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\dfrac{{18}}{{\sqrt 3 }}\)
A.\(3\sqrt 3\)
B.\(6\sqrt 3\)
C.\(9\sqrt 3\)
D.\(8\sqrt 3\)

Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x} + \sqrt {9x} = 15\)
A.\(x = 4\)
B.\(x = 1\)
C.\(x = 9\)
D.\(x = 16\)

Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên \(R\)? Vì sao?
A.
B.Đồng biến
C.Nghịch biến
D.Không đồng biến, không nghịch biến trên \(R\)

Một sóng cơ truyền trên một sợi dây đàn hồi rất dài. Phương trình sóng tại một điểm trên dây cách nguồn một đoạn x là \(u = 5cos\left( {20\pi t - \dfrac{{2\pi x}}{3}} \right)\left( {mm} \right)\) (với x đo bằng mét, t đo bằng giây). Tốc độ truyền sóng trên sợi dây có giá trị là
A.\(30mm/s\)
B.\(30cm/s\)
C.\(30m/s\)
D.\(10m/s\)

Tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt 3 + \sqrt {12} - \sqrt {27} - \sqrt {36} \)
A.\(A = 5\)
B.\(A = -5\)
C.\(A = 6\)
D.\(A = -6\)

Một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ, chiều cao bằng 10cm và chứa một lượng nước có thể tích bằng một nửa thể tích của chiếc cốc. Một chiếc cốc thủy tinh khác có dạng hình nón (không chứa gì cả) và có bán kính đáy bằng bán kính đáy chiếc cốc hình trụ đã cho (hình vẽ bên). Biết rằng khi đổ hết lượng nước trong chiếc cốc hình trụ vào chiếc cốc hình nón thì chiếc cốc hình nón đầy nước và không có nước tràn ra ngoài. Tính chiều cao của chiếc cốc có dạng hình nón (bỏ qua bề dày của thành cốc và đáy cốc).
A.\(12cm\)
B.\(15cm\)
C.\(16cm\)
D.\(18cm\)

Thực dân Pháp thực hiện kế hoạch Rơ-ve (tháng 5-1949) nhằm mục đích chủ yếu nào?
A.Thu hút lực lượng chủ lực Việt Nam lên Việt Bắc để tiêu diệt.
B.Tập trung lực lượng cơ động chiến lược tại Bắc bộ để phản công.
C.Xây dựng hệ thống đồn bốt kiên cố tại vùng trung du Bắc bộ.
D.Khóa chặt biên giới Việt Trung và cô lập căn cứ địa Việt Bắc.

Từ đầu những năm 50 đến đầu những năm 70 của thế kỉ XX, Nhật Bản tăng cường quan hệ kinh tế, chính trị, văn hóa xã hội với các nước
A.Đông Âu.
B.Bắc Phi.
C.Đông Nam Á.
D.Mỹ Latinh.

Khu vực nào bùng nổ sớm nhất phong trào giải phóng dân tộc ở châu Phi sau Chiến tranh thế giới thứ hai?
A.Nam Phi.
B.Bắc Phi.
C.Tây Phi.
D.Đông Phi.

Đông Dương Cộng sản đảng ra đời (6/1929) từ sự phân hóa của
A.Việt Nam Quốc dân đảng.
B.Hội Việt Nam Cách mạng Thanh niên.
C.Tân Việt Cách mạng đảng.
D.Đảng Lập hiến.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến