Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $: x, y ≥ 0$
- Xét TH $: y(y + 1) ≤ 1 ⇔ y² + y + \dfrac{1}{4} ≤ \dfrac{5}{4} $
$ ⇔ (y + \dfrac{1}{2})² ≤ \dfrac{5}{4} ⇔ y + \dfrac{1}{2} ≤ \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$ ⇔ 0 ≤ y ≤ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} <1 $
$ ⇒ y² ≤ y ⇒ y² - y ≤ 0 ≤ x² ⇔ y(y - 1) ≤ x² (*)$
- Xét TH $: y(y + 1) ≥ 1 ⇔ \sqrt{y(y + 1)} ≥ 1$
Từ giả thiết $: y(y + 1) ≤ (x + 1)² ⇔ \sqrt{y(y + 1)} ≤ x + 1$
$ ⇔ 0 ≤ \sqrt{y(y + 1)} - 1 ≤ x $
$ ⇔ y(y + 1) + 1 - 2\sqrt{y(y + 1)} ≤ x² (1)$
Mặt khác với $y ≥ 0$ ta có BĐT hiển nhiên:
$ 4y² + 4y < 4y² + 4y + 1$
$ ⇔ 4y(y + 1) < (2y + 1)²$
$ ⇔ 2\sqrt{y(y + 1)} < 2y + 1 (2)$
$(1) + (2) $ vế với vế:
$ y² + y + 1 ≤ x² + 2y + 1 ⇔ y(y - 1) < x²(**)$
Từ $(*); (**) $ có BĐT $ y(y - 1) ≤ x² (đpcm)$
