Đáp án: $S\ge 4$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $x,y\ge 1$
Với $x=y=1\to S=2$
Với $x,y$ không cùng đồng thời bằng $1$
Ta có:
$\sqrt{x-1} - y \sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$\
$\to (x\sqrt{x}- y \sqrt{y})+(\sqrt{x-1} -\sqrt{y-1})=0$
$\to (\sqrt{x})^3- ( \sqrt{y})^3+(\sqrt{x-1} -\sqrt{y-1})=0$
$\to (\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)+\dfrac{x-1-(y-1)}{\sqrt{x-1} +\sqrt{y-1}}=0$
$\to \dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (x+\sqrt{xy}+y)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x-1} +\sqrt{y-1}}=0$
$\to (x-y)(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (x+\sqrt{xy}+y)+\dfrac{1}{\sqrt{x-1} +\sqrt{y-1}})=0$
Vì $x,y\ge 1\to \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (x+\sqrt{xy}+y)+\dfrac{1}{\sqrt{x-1} +\sqrt{y-1}}> 0$
$\to x-y=0\to x=y$
$\to S=x^2+3x^2-2x^2-8x+12$
$\to S=2x^2-8x+12$
$\to S=2x^2-8x+8+4$
$\to S=2(x^2-4x+4)+4$
$\to S=2(x-2)^2+4$
$\to S\ge 2\cdot 0+4=4$
Dấu = xảy ra khi $x=2\to y=2$
