Đáp án:
$K = 2022$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ sau vào bài : $a^{2} - b^{2} = ( a - b )( a + b )$
Ta có : $x^{4} + x^{2} + x = y^{4} + y^{2} + y$
⇔ $( x^{4} - y^{4} ) + ( x^{2} - y^{2} ) + ( x - y ) = 0$
⇔ $( x^{2} - y^{2} )( x^{2} + y^{2} ) + ( x - y )( x + y ) + ( x - y ) = 0$
⇔ $( x - y )( x + y )( x^{2} + y^{2} ) + ( x - y )( x + y ) + ( x - y ) = 0$
⇔ $( x - y )[ ( x + y )( x^{2} + y^{2} ) + x + y + 1 ] = 0$
Vì $x , y > 0 ⇒ x + y > 0 ; x^{2} + y^{2} > 0$
⇒ $( x + y )( x^{2} + y^{2} ) + x + y + 1 > 0$
⇒ $x - y = 0$
⇔ $x = y$
Có : $K = \frac{x^{2021}+2021y^{2021}}{x^{2021}}$
⇔ $K = \frac{x^{2021}+2021x^{2021}}{x^{2021}}$
⇔ $K = \frac{2022x^{2021}}{x^{2021}}$
⇔ $K = 2022$
