Đáp án+Giải thích các bước giải:
Với `4x^2 + y^2 = 1` (*)
`(ĐKXĐ: 2x + y + 2 ne 0)`
Ta có `A=(2x + 3y)/(2x + y + 2)`
`=> P(2x+y+2) = 2x + 3y`
`<=> 2Px + Py + 2P - 2P + 3y =0`
`<=> 2(P-1)x + (P-3)y = -2A` (1)
Áp dụng bất đẳng thức `Bunhiacopxki` cho hai bộ số `(2x;y)` và `(P-1; P-3)`
Ta có: `4P^2 = [2x(P-1) + y(P-3)]^2 ge (4x^2+y^2)*[(P-1)^2 + (P-3)^2]`
`=> 4P^2 = (P-1)^2-(P-3)^2` (Vì `4x^2 + y^2 =1`)
Do đó:
`4P^2 < (P-1)^2 + (P-3)^2 - P^2 - 2P + 1 + P^2 + 1 + P^2 -6P + 9`
`=> 2P^2 + 8P - 10 le 0`
`<=> P^2 + 4P - 5 le 0`
`<=> (P-1)(P+5) le 0`
`<=> 1 le P le 5`
Thế `P=1` vào (1) ta được `-2y = - 2 => y = 1`
Thế `y = 1` vào (*) ta được `x=0=> (x;y) = (0;1)`
Thế `P = -5` vào (1) ta được `2(-5-1)x + (-5 -3)y = -2(-5)`
`=> -12x - 8y = 10 <=> 6x + 4y = -5 => y = (-6x -5)/4`
Thế vào (*) ta được `4x^2 + ((-6x -5)/4)^2 = 1`
`<=> 100x^2 + 60x + 9 =0`
`<=> x=-3/10 => y = -4/5`
Vậy `max A = 1 <=> x = 0; y =1`
`min A = -5 <=> x = -3/10; y = -4/5`
