Đáp án: $GTNN$ của $A = 50$ khi $x = y = 5$
Giải thích các bước giải: Ta có:
$(x - y)² ≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ A ≥ 2xy (1)$
$x² + y² ≥ 2xy ⇔ 2(x² + y²) ≥ (x + y)² ⇔ \sqrt[]{2(x² + y²)} ≥ |x + y| ⇔ \sqrt[]{2A}≥ |x + y|≥ x + y ⇔ 2\sqrt[]{2A} ≥ 2(x + y) (2)$
Theo giả thiết $x + y + xy = 35$ nên lấy $(1) + (2)$ vế với vế ta có:
$ A + 2\sqrt[]{2A} ≥ 2xy + 2(x + y) = 2(x + y + xy) = 70$
$⇔ A + 2\sqrt[]{2A} + 2 ≥ 72$
$⇔ (\sqrt[]{A} + \sqrt[]{2})² ≥ 72$
$⇔ \sqrt[]{A} + \sqrt[]{2} ≥ 6\sqrt[]{2}$
$⇔ \sqrt[]{A} ≥ 5\sqrt[]{2}$
$⇔ A ≥ 50$
Vậy $GTNN$ của $A = 50$ xảy ra khi $x = y = 5$
