x + y + xy = 8
Tìm Min: A = x² + y²
Bài này cần có thêm đk x;y > 0 nữa thì phải :)
――――――――――――――――――――――――
Từ giả thiết: x + y + xy = 8
⇔ x + xy + y + 1 = 9
⇔ x(y + 1) + (y + 1) = 9
⇔ (x + 1)(y + 1) = 9
Ta có bđt luôn đúng sau: (a - b)² ≥ 0
⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab ⇔ (a + b)² ≥ 4ab
⇔ ab ≤ (a + b)²/4 (♥)
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
Áp dụng bđt (♥) với: a = x + 1 ; b = y + 1 ta có:
(x + 1)(y + 1) ≤ (x + y + 2)²/4
⇔ 9 ≤ (x + y + 2)²/4
⇔ (x + y + 2)² ≥ 36
⇔ x + y + 2 ≥ 6
⇔ x + y ≥ 4
Mặt khác ta có: (x - y)² ≥ 0
⇔ x² - 2xy + y² ≥ 0
⇔ x² + y² ≥ 2xy
⇔ 2(x² + y²) ≥ x² + 2xy + y² (cộng thêm (x² + y²) vào 2 vế)
⇔ 2(x² + y²) ≥ (x + y)² ≥ 4² = 16
⇔ A = x² + y² ≥ 8
Dấu " = "xảy ra ⇔ x = y = 2
Vậy Min A = 8 ⇔ x = y = 2
