Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x³ = y² + y + \dfrac{1}{3} (1)$
$ y³ = z² + z + \dfrac{1}{3} (2)$
$ z³ = x² + x + \dfrac{1}{3} (3)$
$ (1) ⇔ x³ = y² + 2.y.\dfrac{1}{2} + (\dfrac{1}{2})² + \dfrac{1}{12}$
$ = (y +\dfrac{1}{3})² + \dfrac{1}{12} > 0 ⇒ x >0$
Tương tự $(2); (3) ⇒ y > 0; z > 0 (đpcm)$
Mặt khác lấy $(1) - (2)$ ta có:
$ x³ - y³ = y² - z² + y - z$
$ ⇔ (x - y)(x² + xy + y²) = (y - z)(y + z + 1) (3)$
Tương tự:
$ (y - z)(y² + yz + z²) = (z - x)(z + x + 1) (4)$
$ (z - x)(z² + zx + x²) = (x - y)(x + y + 1) (5)$
Vì $x, y, z > 0 $ nên nếu giả sử $: x > y ⇒ x - y > 0$
Từ $(3) ⇒ y - z > 0 ⇒ y > z $
Từ $(4) ⇒ z - x > 0 ⇒ z > x $(vô lý)
Vậy chỉ có thể $x = y = z$ thỏa mãn (đpcm)
