Đáp án:
$A_{MAX}=1$ khi $x=y=z=1$
Giải thích các bước giải:
$\text{Xét $\dfrac{1}{x^3+y^3+1}$:}$
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \geq (x+y).xy=\dfrac{x+y}{z}$
$⇒ x^3+y^3+1 \geq \dfrac{x+y+z}{z}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$}$
$⇒ \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \leq \dfrac{z}{x+y+z}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$}$
Tương tự: $\dfrac{1}{y^3+z^3+1} \leq \dfrac{x}{x+y+z}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $y=z=1$}$
$\dfrac{1}{z^3+x^3+1} \leq \dfrac{y}{x+y+z}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $z=x=1$}$
$⇒ A \leq \dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=1$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$}$
$\text{Vậy GTLN của A là $1$ khi $x=y=z=1$}$
