Đáp án:
GTNN$ A =\dfrac 32$ khi $x = y = z = 1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$xy + yz + zx = 3xyz$ (vì $x,y,z>0$ nên $xyz>0$ ta chia cả hai vế cho $xyz$)
$ ⇔ \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 3$ (*)
Mặt khác :
$(z - x)² ≥ 0 $
$⇔ z² - 2zx + x² ≥ 0$
$ ⇔ - 2zx ≥ - (z² + x²)$
$ ⇔ - \dfrac z{z² + x²} ≥ -\dfrac 1{2x}$ (1)
Tương tự:
$- \dfrac x{x² + y²} ≥ -\dfrac 1{2y}$ (2)
$-\dfrac y{y² + z²} ≥ -\dfrac 1{2z}$ (3)
Lấy (1) + (2) +(3) vế theo vế :
$- \left({\dfrac z{z² + x²} + \dfrac x{x² + y²} +\dfrac y{y² + z²}}\right) ≥ - \dfrac12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right)$ (**)
Từ (*) và (**) ta có:
$A =\dfrac {x²}{z(z² + x²)} + \dfrac {y²}{x(x² + y²)} +\dfrac {z²}{y(y² + z²)}$
$= \left({\dfrac1z -\dfrac z{z² + x²}}\right) +\left({ \dfrac1x -\dfrac x{x² + y²}}\right) + \left({\dfrac1y - \dfrac y{y² + z²}}\right)$
$=\left ({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right) - \left({\dfrac z{z² + x²} +\dfrac x{x² + y²} +\dfrac y{y² + z²}}\right)$
$≥\left ({\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z}\right) -\dfrac 12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y + \dfrac1z}\right) $
$=\dfrac 12\left({\dfrac1x +\dfrac 1y +\dfrac 1z}\right) ≥\dfrac 32$
