Đáp án:
$A_{Min}=4$ khi `(x;y;z)` là hoán vị của bộ số `(0;0;1)`
Giải thích các bước giải:
`A=\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{2y^2+y+1}+\sqrt{2z^2+z+1}`
`x,y,z` là các số thực không âm
`->x,y,z<=0`
mà `x+y+z=1`
`->0<=x,y,z<=1`
`->` \begin{cases} x(x-1)\le0 \\ y(y-1)\le0\\ z(z-1)\le0 \end{cases}
Xét `x(x-1)<=0`
`->x^2-x<=0`
`->x^2<=x`
`->2x^2+x+1<=x^2+2x+1`
`->\sqrt{2x^2+x+1}<=\sqrt{(x+1)^2}=x+1`
Tương tự:
`\sqrt{2y^2+y+1}<=y+1`
`\sqrt{2z^2+z+1}<=z+1`
`->A<=x+1+y+1+z+1=4`
Dấu bằng xảy ra khi
\begin{cases} x(x-1)=0 \\ y(y-1)=0\\ z(z-1)=0\\x+y+z=1 \end{cases}
`->` \begin{cases} \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}y=0\\y=1\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}z=0\\z=1\end{array} \right.\\x+y+z=1 \end{cases}
`-> (x;y;z)` là hoán vị của bộ số `(0;0;1)`
