Đáp án:
\[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 3\]
Giải thích các bước giải:
Bất đẳng thức Bunhia - Copski: \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {ax + by + cz} \right)^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
9\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\\
\ge {\left( {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt y .\frac{1}{{\sqrt y }} + \sqrt z .\frac{1}{{\sqrt z }}} \right)^2}\\
= {\left( {1 + 1 + 1} \right)^2} = 9\\
\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 1
\end{array}\)
Vậy \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 3\)
