Đáp án:
Viết `VT` lại như sau :
`VT = (3x+ 2/x) + (3y + 2/y) + (3z + 2/z)`
BĐT phụ cần `cm` có dạng `3∝ + 2/∝ >= m∝^2 + n (∀ 0 < ∝ < \sqrt{3})`
Điểm rơi `x = y = z = 1 -> VT = 15`
ta tìm `n` theo `m` , áp dụng nhận xét về dạng của BĐT phụ trên ta có :
`VT >= m(x^2 + y^2 + z^2) + 3m = 3m + 3n`
`-> 15 = 3m + 3n -> m+ n = 5 -> n = 5 - m`
Do đó BĐT phụ có dạng : `3∝ + 2/∝ >= m∝^2 + 5 - m = m(∝^2 - 1) + 5`
`-> 3∝ + 2/∝ - 5 >= m(∝ - 1)(∝ + 1)`
`->[(3∝ - 2)(∝ - 1)]/∝ >= m(∝ - 1)(∝ + 1)`
`-> [(3∝ - 2)(∝ - 1)]/∝ - m(∝ - 1)(∝ + 1) >= 0`
`-> (∝ - 1)[(3∝ - 2)/∝ - m(∝ + 1)] >= 0 (1)`
Do dấu "=" `∝ = 1` với mọi `∝ > 0` nên `(1)` có nghiệm kép là `1`
`-> (3 . 1 - 2)/1 - m(1 + 1) = 0 -> m= 1/2 -> n = 5 - 1/2 = 9/2`
Vậy BĐT phụ cần `cm` là `3∝ + 2/∝ >= 1/2 ∝^2 + 9/2`
`<=> [(x - 1)^2(4 - x)]/(2x) >= 0 ( luôn đúng , ∀0 < ∝ < \sqrt{3})`
Áp dụng BĐT phụ trên ta có :
`VT >= 1/2 (x^2 + y^2 + z^2) + 27/2 = 1/2 . 3 + 27/2 = 15 = VP`
Dấu "=" `<=> x= y = z= 1`
Giải thích các bước giải:
