Đáp án: $ x + y + z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
Giải thích các bước giải: Cách ko tốt lắm, tham khảo:
$ x² + xy + y² = 1 (1);$
$y² + yz + z² = \dfrac{1}{4} (2);$
$ z² + zx + x² = \dfrac{3}{4} (3)$
Nếu $:x = y $ thay vào $ (2) ⇒ x² + xz+ z² = \dfrac{1}{4}$ ko thỏa $(3)$
$ ⇒ x\neq y ⇒ x - y\neq0 $
Tương tự $ : y - z\neq0 ; z - x\neq0 $
Lần lượt nhân $x - y; y - z; z - x$ cho$(1); (2); (3)$ có:
$ x³ - y³ = x - y (4);$
$ y³ - z³ = \dfrac{1}{4}(y - z) (5);$
$ z³ - x³ = \dfrac{3}{4}(z - x) (6)$
$(4) + (5) + (6) : 0 = (x - y) + \dfrac{1}{4}(y - z) + \dfrac{3}{4}(z - x)$
$ ⇔ x = 3y - 2z (*)$ thay vào $(1)$
$ (3y - 2z)² + y(3y - 2z) + y² = 1 $
$ ⇔ 13y² - 14yz + 4z² = 1 (7)$
$ (4) ⇔ 4y² + 4yz + 4z² = 1 (8)$
$(7) - (4) : 9y² - 18yz = 0 ⇔ 9y(y - 2z) = 0$
- TH1 $: y = 0 $ thay vào hệ ko thỏa mãn
- TH2 $: y - 2z = 0 ⇔ y = 2z $ thay vào $(2)$
$ 4z² + 2z² + z² = \dfrac{1}{4} ⇔ 7z² = \dfrac{1}{4} ⇔ z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{14}$
$ (*) ⇒ x + y + z = 4y - z = 7z = ± \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
Đặt $ y = x² $
$PT ⇔ 3(y² - y + 1) - m\sqrt{(y + 1)(y² - y + 1)} + 3(y + 1) = 0 (*)$
Chia 2 vế của $(*)$ cho $y + 1$ và đặt :
$ t = \sqrt{\dfrac{y² - y + 1}{y + 1}} = \sqrt{y + 1 + \dfrac{3}{y + 1} - 3} ≥ \sqrt{2\sqrt{3} - 3}$
Ta có PT bậc 2 theo $t : 3t² - mt + 3 = 0(**)$
Để PT đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt $ ⇔ (*)$ có 1 nghiệm $y > 0$
$ ⇔ (**)$ có nghiệm $t $ thỏa $ 0 < t_{1} ≤ \sqrt{2\sqrt{3} - 3} ≤ t_{2}$
Cần đồng thời 2 điều kiện:
1) $ Δ = m² - 36 ≥ 0 ⇔ m ≥ 6 (1)$ ( vì từ PT ban đầu $ ⇒ m > 0)$
2) $f(0) >0; f(\sqrt{2\sqrt{3} - 3}) ≤ 0$. Với $f(t) = 3t² - mt + 3 $
$ f(0) = 3 > 0$
$ f(\sqrt{2\sqrt{3} - 3}) = 3(2\sqrt{3} - 3) - m\sqrt{2\sqrt{3} - 3} + 3 ≤ 0$
$ ⇔ m\sqrt{2\sqrt{3} - 3} ≥ 6(\sqrt{3} - 1) ⇔ m ≥ \dfrac{6(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3} } (2)$
Kết hợp $(1); (2) ⇒ m ≥ \dfrac{6(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2\sqrt{3} - 3} } $
Khi đó $ t_Ơ2}
Từ $ t = \sqrt{\dfrac{y² - y + 1}{y + 1}}$
$ ⇔ t²(y + 1) = y² - y + 1 ⇔ y² - (t² + 1)y + 1 - t² = 0 (***)$
Với $ t
