Ta có:
$x,y,z$ là 3 cạnh của tam giác:
$\to \begin{cases}x + y > z\\y + z > x\\z + x > y\end{cases}$
$\to \begin{cases}x + y - z > 0\\y + z - x > 0\\z +x - y>0\end{cases}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta được:
$(x-y+z)(x - z +y) \leq \left(\dfrac{x - y + z + x - z + y}{2}\right)^2 = x^2$
$(x - z + y)(-x + y + z) \leq \left(\dfrac{x - z + y -x + y +z}{2}\right)^2 =y^2$
$(-x+y+z)(x-y+z) \leq \left(\dfrac{-x+y+z +x-y+z}{2}\right)^2 = z^2$
Nhân vế theo vế ta được:
$\left[(x-y+z)(x - z +y)(-x+y+z)\right]^2 \leq (xyz)^2$
$\to (x-y+z)(x - z +y)(-x+y+z) \leq xyz$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$
