Giải thích các bước giải:
Sửa đề: $x,y,z >0$ và $x+y+z=3$
CMR: $P=\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}$
Ta có: $x+y+z=3⇔0≤x,y,z<3$
Do vai trò của $x,y,z$ là bình đẳng.
Giả sử: $0≤x,y,z≤1$
Ta có: $\frac{x^2}{x+y^2}=x-\frac{y^2}{x+y^2}≥x-\frac{y^2}{2.y√x}=x-\frac{y}{2√x} $
Chứng minh tương tự:
$⇒\frac{y^2}{y+z^2}≥y-\frac{z}{2√y} $
$⇒\frac{z^2}{z+x^2}≥z-\frac{x}{2√z} $
Cộng 3 vế với nhau ta thu được: $P≥(x+y+z)-(\frac{y}{2√x}+\frac{z}{2√y}+\frac{x}{2√z})$
$⇔P≥3-(\frac{y}{2√x}+\frac{z}{2√y}+\frac{x}{2√z})$
$⇔P≥3-(\frac{x√x.√y+y√y.√z+z√z.√x}{2.\sqrt[]{xyz} })$
Cần chứng minh: $x\sqrt[]{x.y}+y\sqrt[]{y.z}+z\sqrt[]{z.x}≤x+y+z=3$
$⇔x(1-\sqrt[]{x.y})+y(1-\sqrt[]{y.z})+z(1-\sqrt[]{z.x})≥0$ (Luôn đúng)
Và ta có: $x.y.z≥0$
$⇔P≥3-(\frac{x√x.√y+y√y.√z+z√z.√x}{2.\sqrt[]{xyz} })≥3- \frac{3}{2} =\frac{3}{2} $
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$
$=>$Giả sử đúng $=>$ Điều phải chứng minh.
