Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}\)A.1B.4C.3D.2

hackingtron1011

2 năm trước

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}\)
A.1
B.4
C.3
D.2

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Huongsu2001

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:\(Q=\frac{x+1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y+1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z+1}{1+{{x}^{2}}}=\left( \frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}} \right)+\left( \frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)=A+B\)
Xét \(A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\)
Ta có: \(\frac{x}{1+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( 1+{{y}^{2}} \right)-x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}=x-\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}\ge x-\frac{x{{y}^{2}}}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự \(\frac{y}{1+{{z}^{2}}}\ge y-\frac{yz}{2}\),\(\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge z-\frac{xy}{2}\)
Khi đó \(A=\frac{x}{1+{{y}^{2}}}+\frac{y}{1+{{z}^{2}}}+\frac{z}{1+{{x}^{2}}}\ge x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
Lại có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx\Rightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 3\left( xy+yz+zx \right)\)
\(\Rightarrow A\ge x+y+z-\frac{\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.
Xét \(B=\frac{1}{1+{{y}^{2}}}+\frac{1}{1+{{z}^{2}}}+\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)
Ta có
\(\begin{align} & 3-B=\left( 1-\frac{1}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{z}^{2}}} \right)+\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{1+{{z}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}\le \frac{{{y}^{2}}}{2y}+\frac{{{z}^{2}}}{2z}+\frac{{{x}^{2}}}{2x}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align}\)
Suy ra \(B\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy \(Q\ge 3\) .Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Chọn C

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho phương trình \({{x}^{2}}-2x-m=0\) (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m=3\)
b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \({{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0\)
A.a) \(x=3\) hoặc \(x=-1\)
b) \(m=3\)
B.a) \(x=2\) hoặc \(x=-1\)
b) \(m=3\)
C.a) \(x=3\) hoặc \(x=-1\)
b) \(m=-3\)
D.a) \(x=3\) hoặc \(x=1\)
b) \(m=1\)

Hiệu điện thế giữa hai dây tải điện của thành phố bằng U0 không đổi. Một gia đình có hai bếp điện giống nhau, mỗi bếp có công suất định mức P0=400W và hiệu điện thế định mức cũng bằng U0. Khi sử dụng một bếp thì công suất thực tế tỏa ra ở bếp là P1=324W. Hỏi nếu sử dụng đồng thời cả hai bếp mắc song song thì tổng công suất tỏa ra bằng bao nhiêu? ( Bỏ qua sự thay đổi điện trở theo nhiệt độ).
A.535,6W
B.500W
C.525,6W
D.546W

Chứng minh công thức trên?
A.#VALUE!
B.#VALUE!
C.#VALUE!
D.#VALUE!

Máy thu thanh đơn giản không có
A.Mạch tách sóng
B.Mạch khuếch đại
C.Anten
D.Mạch biến điệu

Đặt điểm sáng S trên trục chính ∆ của thấu kính hội tụ, một màn chắn M vuông góc với ∆; điếm sáng S và màn M luôn cố định và cách nhau một khoảng L = 45 cm. Thấu kính có tiêu cự f = 20 cm và có bán kính đường rìa r = OP = OQ = 4 cm (O là quang tâm, P, Q là các điếm mép thấu kính), thấu kính có thể di chuyến trong khoảng từ S đến màn (hình vẽ). Dịch chuyển thấu kính lại gần màn M sao cho A luôn luôn là trục chính của thấu kính thì kích thước vết sáng tròn thay đổi, người ta tìm được một vị trí thấu kính cho kích thước vết sáng trên màn là nhỏ nhất. Hãy xác định vị trí đó của thấu kính và bán kính của vết sáng nhỏ nhất tương ứng trên màn.
A.5cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm

Cho biết công suất điện tiêu thụ tổng cộng của mạch là 1500W. Tìm R-0 và công suất tiêu thụ của bóng đèn.
A.1300W
B.1250W
C.1200W
D.1100W

Đặc điểm đúng với địa hình đồng bằng châu thổ sông Hồng
A. được bồi tụ dần trên vịnh biển nông, thềm lục địa mở rộng.
B.có nhiều vũng trũng lớn chưa được phù sa bồi lấp hết.
C.thường xuyên bị xâm nhập mặn và chịu tác động của thủy triều.
D.địa hình cao ở rìa phía đông và đông bắc

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 17, cho biết tỉnh có GDP bình quân đầu người (năm 2007) cao nhất ở vùng Trung du và miền núi Bắc Bộ là
A.Bắc Giang.
B.Phú Thọ.
C.Quảng Ninh.
D.Thái Nguyên.

Một vật bằng gang hoặc bằng thép bị ăn mòn trong không khí ẩm là do
A.Sắt tác dụng với oxi.
B.Sắt tác dụng với hơi nước.
C.Ăn mòn hóa học.
D.Ăn mòn điện hóa.

Chứng minh: AC // OO'
A.#VALUE!
B.#VALUE!
C.#VALUE!
D.#VALUE!

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến