Đáp án:
Ta sẽ c/m BĐT phụ `1/(x + y) ≤ 1/4 (1/x + 1/y) (∀x,y > 0)`
`(x - y)^2 >= 0 (∀x,y)`
`-> x^2 - 2xy + y^2 >= 0`
`-> x^2 + y^2 >= 2xy`
`-> x^2 + y^2 + 2xy >= 2xy + 2xy`
`-> (x + y)^2 ≥ 4xy`
Do `x,y > 0` , đem chia `2` vế cho `xy(x + y) ne 0 ` ta được
`(x + y)/(xy) ≥ 4/(x + y)`
`-> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y)`
`-> 1/(x + y) ≤ 1/4 (1/x + 1/y)`
Áp dụng BĐT phụ trên ta có
`VT = 1/[(x + y) + (x + z)] + 1/[(x + y) + (y + z)] + 1/[(x + z) + (y + z)] ≤ 1/4 (1/(x + y) + 1/(x + z) + 1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(x + z) + 1/(y+ z)) = 1/4 . 2 (1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) = 1/2 (1/(x + y) + 1/(y + z) + 1/(z + x)) ≤ 1/2 . 1/4 (1/x + 1/y + 1/y + 1/z + 1/z + 1/x) = 1/8 . 2 . (1/x + 1/y + 1/z) = 1/4 (1/x + 1/y + 1/z) = 1/4 . 4 = 1`
Dấu "=" xảy ra `<=> x = y = z = 3/4`
Giải thích các bước giải:
