Đáp án: $GTLN$ của $A = \frac{1}{3}$ khi $ x = y = z = \frac{1}{3}$
Giải thích các bước giải:
Đặt $ a = \sqrt[]{x} > 0; b = \sqrt[]{y} > 0; c = \sqrt[]{z} > 0$
$⇒ a² + b² + c² = x + y + z = 1$
Ta có: $ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² = 1$
$⇔ 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2$
$⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3$
$⇔ (a + b + c)²≤ 3 ⇔ (a + b + c)^{4} ≤ 9$
Mặt khác áp dụng BĐT Cô si cho 3 số :
$\sqrt[3]{abc} ≤ (\frac{1}{3})(a + b + c) ⇔ abc ≤ (\frac{1}{27})(a + b + c)³$
$ A = x\sqrt[]{yz} + y\sqrt[]{zx} + z\sqrt[]{xy} = a²bc + ab²c + abc² $
$ = abc(a + b + c) ≤ (\frac{1}{27})(a + b + c)^{4} ≤ (\frac{1}{27}).9 = \frac{1}{3}$
Vậy $GTLN$ của $A = \frac{1}{3}$ khi $ x = y = z = \frac{1}{3}$
