Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: `z>0`. Đặt `x=a,y=b,z=\frac{1}{2c}`
Từ GT `x^2 z^2+y^2 z^2+1 \le 3z⇒a^2+b^2 \le 6c-4c^2`
`a^2+b^2+c^2 \le 6c-3c^2=3[1-(c-1)^2] \le 3`
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki:
`(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) \le 9`
`⇒a+b+c \le 3`
`⇒ 0 \le a+b+c+5 \le 8`
`⇒ \frac{1}{(a+b+c+5)^2} \ge \frac{1}{64}`
Ta có: `P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{8}{(y+3)^2}+\frac{4z^2}{(1+2z)^2}`
`P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(1+\frac{1}{2z})^2}+\frac{8}{(y+3)^2}`
`P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{8}{(b+3)^2}=[\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}]+\frac{8}{(b+3)^2} \ge \frac{8}{(a+c+2)^2}+\frac{8}{(b+3)^2}=8[\frac{1}{(a+c+2)^2}+\frac{1}{(b+3)^2}] \ge \frac{64}{(a+c+2+b+3)^2} \ge 1`
Dấu `=` xảy ra khi \(\begin{cases} x=y=1\\ x=\dfrac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy `P_{min}=1`
