Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3x^4+1=x^4+x^4+x^4+1 \geq 4\sqrt[4]{x^{12}}=4|x^3|$
Tương tự: $3y^4+1 \geq 4|y^3|$; $3z^4+1 \geq 4|z^3|$
$\rightarrow 3(x^4+y^4+z^4)+3 \geq 4(|x^3|+|y^3|+|z^3|)$
$\rightarrow |x^3|+|y^3|+|z^3| \leq 3$ (1)
Lại có:
$|x^3|+|x^3|+|y^3| \geq 3\sqrt[3]{|x^6.y^3|}=3|x^2y|$
Tương tự: $|y^3|+|y^3|+|z^3| \geq 3|y^2z|$ ; $|z^3|+|z^3|+|x^3| \geq 3|z^2x|$
Cộng vế với vế và rút gọn:
$|x^2y|+|y^2z|+|z^2x| \leq |x^3| +|y^3|+|z^3| \leq 3$ (2)
Cộng vế với vế (1) và (2)
$\rightarrow 6 \geq |x^3|+|y^3|+|z^3|+|x^2y|+|y^2z|+|z^2x| \geq |x^3+y^3+z^3+x^2y+y^2z+z^2x|$
$\rightarrow -6 \leq x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x) \leq 6$
Vậy: $P_{min}=-6$ khi $x=y=z=-1$
$P_{max}=6$ khi $x=y=z=1$
