Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x² + y² ≥ 2xy $ . Dấu $'=' ⇔ x = y$
$ y² + z² ≥ 2yz $ . Dấu $'=' ⇔ y = z$
$ z² + x² ≥ 2zx $ Dấu $'=' ⇔ z = x$
$ x² + 1 ≥ 2x $ . Dấu $'=' ⇔ x = 1$
$ y² + 1 ≥ 2y $ . Dấu $'=' ⇔ y = 1$
$ z² + 1 ≥ 2z $ . Dấu $'=' ⇔ z = 1$
Cộng tất cả lại :
$ 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12$
$ ⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ 9 ⇔ x² + y² + z² ≥ 3 (đpcm)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $x = y = z = 1$
.............................................................
Một cách khác để tham khảo:
Đặt $: A² = x² + y² + z² (A > 0)$
$ ⇒ 3A² = 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² (1)$
$ ⇒ \sqrt{3}A ≥ x + y + z ⇔ 2\sqrt{3}A ≥ 2(x + y + z)(2)$
$(1) + (2) : 3A² + 2\sqrt{3}A ≥ (x + y + z)² + 2(x + y + z) (*)$
Mà theo giả thiết $: x + y + z + xy + yz + zx = 6$
$ ⇔ 2(x + y + z) + 2xy + 2yz + 2zx = 12$
$ ⇔ 2(x + y + z) + (x + y + z)² - (x² + y² + z²) = 12$
$ ⇔ 2(x + y + z) + (x + y + z)² = A² + 12 (**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra:
$ ⇒ 3A² + 2\sqrt{3}A ≥ A² + 12$
$ ⇔ A² + \sqrt{3}A - 6 ≥ 0$
$ ⇔ (A - \sqrt{3})(A + 2\sqrt{3}) ≥ 0$
$ ⇔ A - \sqrt{3} ≥ 0 ⇔ A ≥ \sqrt{3} ⇔ A² ≥ 6$
$ ⇔ x² + y² + z² ≥ 6 (đpcm)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $x = y = z = 1$
