Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $P=\dfrac{1}{x\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} \right)}+\dfrac{1}{y\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2} \right)}+\dfrac{1}{z\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} \right)}$

$⇔P=\dfrac{1}{x\left(1-\dfrac{1}{x^2} \right)}+\dfrac{1}{y\left(1-\dfrac{1}{y^2} \right)}+\dfrac{1}{z\left(1-\dfrac{1}{z^2} \right)}$

Đặt $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right)=(a;b;c)⇒a^2+b^2+c^2=1$

$⇒P=\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$

Với mọi $0<a<1$ ta có đánh giá:

$\dfrac{a}{1-a^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Thật vậy, BĐT tương đương:

$⇔9a^3-9a+2\sqrt{3} \geq 0$

$⇔(3a+2\sqrt{3})(\sqrt{3}.a-1)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Tương tự, ta có: $\dfrac{b}{1-b^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}b^2$

$\dfrac{c}{1-c^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}c^2$

Cộng vế với vế:

$P \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ hay $x=y=z=\sqrt{3}$

+ Ta có: $P$ $=$ $\frac{1}{x(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}$ $+$ $\frac{1}{y(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{x^{2}})}$ $+$ $\frac{1}{z(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})}$

+ Đặt: $\frac{1}{x}$ $=$ $a$ ; $\frac{1}{y}$ $=$ $b$ ; $\frac{1}{z}$ $=$ $c$ thì $a, b, c > 0$ và $a^{2} + b^{2} + {c}^{2} = 1$.

$P=$ $\frac{a}{b^{2} + c^{2}}$ $+$ $\frac{b}{c^{2} + a^{2}}$ $+$ $\frac{c}{a^{2} + b^{2}}$ $=$ $\frac{a^{2}}{a(1-a)^{2}}$ $+$ $\frac{b^{2}}{b(1-b)^{2}}$ $+$ $\frac{c^{2}}{c(1-c)^{2}}$

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:

$a^{2}(1-a^{2})^{2} =\frac{1}{2}.2a^{2}(1-a)^{2}(1-a)^{2}≤$ $\frac{1}{2}.(\frac{2a^{2}+1-a^{2}+1-a^{2}}{3})^{3}=\frac{4}{27}$

$⇒$ $a.(1-a)^{2}≤\frac{2}{3\sqrt{3}}$ $⇔$ $\frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}≥$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$ $(1)$

+ Tương tự: $\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}≥$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}b^{2}$ $(2)$; $\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}≥$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}c^{2}$ $(3)$.

+ Từ $(1), (2)$ và $(3)$, ta có: $P≥$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Đẳng thức xảy ra $⇔$ $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$  hay $x=y=z=\sqrt{3}$ .

+ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.