`~rai~`
`TH1:x+y+z+t=0`
`⇒x+y=-(z+t)`
`⇒y+z=-(x+t)`
`⇒z+t=-(x+y)`
`⇒x+t=-(y+z)`
`text{Thay vào biểu thức A được:}`
`A=(x+y)/(z+t) + (y+z)/(x+t) +(z+t)/(x+y) +(t+x)/(y+z)`
`=(-(z+t))/(z+t) + (-(x+t))/(x+t) +(-(x+y))/(x+y) + (-(y+z))/(y+z)`
`=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)`
`=(-4).`
`TH2:x+y+z+t ne 0`
`text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.Ta có:}`
`x/(y+z+t)=y/(z+t+x)=z/(x+t+y)=t/(x+y+z)=(x+y+z+t)/((y+x+t)+(z+t+x)+(x+t+y)+(x+y+z))=(x+y+z+t)/(3(x+y+z+t))=1/3.`
`⇒x/(y+z+t)=1/3⇒3x=y+z+t`
`⇒y/(z+t+x)=1/3⇒3y=z+t+x`
`⇒3x-3y=(y+z+t)-(z+t+x)`
`⇒3x-3y=y-x`
`⇒4x=4y`
`⇒x=y.`
`text{Tương tự}`
`⇒x=y=z=t`
`text{Thay vào biểu thức A được:}`
`A=(x+y)/(z+t) + (y+z)/(x+t) +(z+t)/(x+y) +(t+x)/(y+z)`
`=(x+x)/(x+x) +(x+x)/(x+x) +(x+x)/(x+x) +(x+x)/(x+x)` `text{(do x=y=z=t)}`
`=4.`
`text{⇒A=-4 hoặc A=4.}`
`text{⇒Biểu thức A luôn có giá trị nguyên.(đpcm)}`
