Đáp án:
\[{Q_{\max }} = 3\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} - 2ca + {a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\
\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca
\end{array}\)
Do đó,
\(\begin{array}{l}
x + y + z = 3\\
\Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} = 9\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 9\\
\Rightarrow 9 \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx = 3\left( {xy + yz + zx} \right)\\
\Rightarrow Q = xy + yz + zx \le 3
\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 3 khi x=y=z=1
