Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $Q = x² + y² + z² - xy - yz - zx (Q∈ Z)$
Áp dụng HĐT :
$ x³ + y³ + z³ = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) + 3xyz$
Ta có $: P = x³ + y³ + z³ = (x + y + z).Q + 3xyz $
$ = (z³ - 2017z).Q + 3xyz = z[(z² - 2017)Q + 3xy]$
@ Xét $z$ có dạng $2p; 2p + 1 ( p ∈ Z)$
- Nếu $ z = 2p ⇒ P$ chia hết cho $2$
- Nếu $ z = 2p + 1$ lẻ $⇒ x + y = z³ - 2018z $ lẻ
$ ⇒ x$ hoặc $y$ chẵn $⇒ xy$ chia hết cho $2$
$ ⇒ P = z[((2p + 1)² - 2017)Q + 3xy] $
$ = z[4(p² + p - 504)Q + 3xy]$ Chia hết cho $2 $
Vậy $P$ chia hết cho $2 (1)$
@ Xét $z$ có dạng $3q; 3q + 1; 3q + 2 ( q ∈ Z)$
- Nếu $ z = 3q ⇒ P$ chia hết cho $3$
- Nếu $ z = 3q + 1$
$ ⇒ P = z[((3q + 1)² - 2017)Q + 3xy] $
$ = z[(9q² + 6q - 2016)Q + 3xy]$
$ = 3z[(3q² + 2q - 672)Q + xy) ⇒ P$ chia hết cho $3$
- Nếu $ z = 3q + 2$
$ ⇒ P = z[((3q + 2)² - 2017)Q + 3xy]$
$ = z[(9q² + 12q - 2013)Q + 3xy]$
$ = 3z[(3q² + 4q - 671)Q + xy] ⇒ P$ chia hết cho $3$
Vậy $P$ chia hết cho $3 (2)$
Từ $(1); (2) ⇒ P$ chia hết cho $6 (đpcm)$
